Question

已知：函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（1）求：f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求：θ的取值范围．

Answer

（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数等于0，判定导数符号从而求出函数的单调区间；
（2）求切线斜率的取值范围即先求g（x）=f'（x）=的取值范围，可利用导数研究g（x）的范围，从而切线的范围，即可求出θ的取值范围．
【解析】
（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），f'（x）=2（1+x）-=，
令f'（x）=0解得x=0或x=-2，则

x （-∞，-2） -2 （-2，-1） （-1，0） （0，+∞）
f'（x） - + - +
f（x） ↓ 极大 ↑ ↓ 极小 ↑

由此：函数f（x）的单调增区间：（-2，-1），（0，+∞）； 函数f（x）的单调减区间：（-∞，-2），（-1，0），
（2）令g（x）=f'（x）=，（x≠-1）
g'（x）=2+＞0，则g（x）在区间[0，1]上是增函数，
所以f'（x）=g（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知：f'（x）=k=tanθ∈[0，3]，
∴θ∈[0，arctan3]．