Question

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一等差数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若数列{a_n}通项公式，求{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，①证明：数列为等差数列；②求{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）把依据数列的通项公式把an和an+1代入△an=an+1-an，进而求得{△an}的通项公式．
（2）①把△an=an+1-an代入△an-an=2n，等式两边同时除以2n+1，得，进而证出数列为等差数列．
②通过Sn-2Sn即错位相减法，进而求得和Sn
解（1）依题△an=an+1-an，
∴，
（2）i）由△an-an=2n，即an+1-an-an=2n，即an+1=2an+2n，
∴，
∴．，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
ii）由i）得，
∴，
∴Sn=a1+a2+a3+an=1•2+2•21++n•2n-1，①
∴2Sn=1•21+2•22++n•2n②
①-②得-Sn=1+2+22++2n-1-n•2n=，
∴Sn=n•2n-2n+1=（n-1）•2n+1．