Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer

（1）赋值，令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值；
（2）方法同（1）赋值求出f（-1）=0，再令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系．得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明；
（3）由题设条件f（4）=1与函数的恒等式，将f（3x+1）+f（2x-6）≤3转化为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再由f（x）在（0，+∞）上是增函数与f（x）是偶函数的性质将此抽象不等式转化为一元二次不等式，求解x的范围．
（1）【解析】
令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．
令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．
（3）【解析】
f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组
或
或或
∴3＜x≤5或-≤x＜-或-＜x＜3．
∴x的取值范围为{x|-≤x＜-或-＜x＜3或3＜x≤5}．