Question

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer

（Ⅰ）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而救是f（x）达到极大值．从而得出所以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
【解析】
（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），
又由已知条件，24=k•22，于是有k=6，
所以f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）．

∴当x=12时，f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．