Question

设F（x）的定义域为R，且满足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定义在R上的函数f（x）满足下述条件：①f（x）是奇函数；②f（x+2）是偶函数；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）设G（x）=f（x+4），判断G（x）的奇偶性并证明；（2）解关于x的不等式：f（x）≤1．

Answer

（1）先根据f（x）是奇函数，f（x+2）是偶函数建立关系式，然后利用函数奇偶性的定义判定G（x）的奇偶性即可；
（2）先根据条件求出F（1），然后根据单调性求出一个周期内满足f（x）≤1的x的范围，再求出函数的周期，即可求出所求．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，f（x+2）是偶函数
∴f（-x）=-f（x），f（-x+2）=f（x+2）
∴f（x+4）=f（-x）=-f（x），f（-x+4）=f（x）即f（-x+4）=-f（x+4）
即G（-x）=-G（x）
∴G（x）是奇函数
（2）∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0=F（0）
∵F（1×2）=F（1）F（2），F（2）=8
∴F（1）=1=f（1）
而f（x+4）=f（-x）=-f（x），则f（x+8）=f（x），函数的周期为8
f（x）在[-2，2]上单调递增，则f（x）≤1=f（1）
∴-5≤x≤1，而函数的周期为8
∴f（x）≤1的解集为[-5+8k，1+8k]（k∈Z）