Question

集合M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对任意的s＞0，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（1）试判断函数f₁（x）=log₂（x+1），f₂（x）=2^x-1是否属于M；
（2）证明：对任意的x＞0，x+m＞0（m∈R，m≠0），m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（3）证明：对于任意给定的正数ε＞0，总存在正数δ＞0，当x∈（0，δ]时，f（x）＜ε．

Answer

（1）对于函数f1（x）=log2（x+1），直接代入验证，对于函数f2（x）=2x-1，通过f2（s）+f2（t）-f2（s+t）验证；（2）令x+m=s，x=t，则s＞0，t＞0，不妨设s＞t＞0，则有f（s）-f（t）＞f（s-t）＞0，从而结论成立；
（3）利用（2）的结论：函数为单调增函数，即可证得．
【解析】
（1）对于函数f1（x）=log2（x+1），f1（s）+f1（t）=log2（s+1）+log2（t+1）=log2（s+1）（t+1）=log2（st+s+t+1）＞f1（s+t），故函数f1（x）=log2（x+1）不属于M；
对于函数f2（x）=2x-1，f2（s）+f2（t）-f2（s+t）=2s-1+2t-1-2s+t+1=（2s-1）（1-2t），
∵s＞0，t＞0，∴f2（s）+f2（t）-f2（s+t）＜0，故函数f2（x）=2x-1属于M；
（2）证明：令x+m=s，x=t，则s＞0，t＞0，不妨设s＞t＞0，则有f（s）-f（t）＞f（s-t）＞0．从而有（s-t）[f（s）-f（t）]＞0，故结论成立；
（3）由（2）知，函数为单调增函数，所以有总存在正数δ＞0，当x∈（0，δ]时，f（x）≤f（δ）＜ε．