Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．由
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）．所以bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．
（Ⅱ）由题设条件知Sn=3n+（a-3）2n-1，n∈N*，于是，an=Sn-Sn-1=，由此可以求得a的取值范围是[-9，+∞）．
【解析】
（Ⅰ）依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，
由此得Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2（Sn-3n）．（4分）
因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．①（6分）
（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a-3）2n-1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）×2n-1-3n-1-（a-3）×2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2，
an+1-an=4×3n-1+（a-3）2n-2=，
当n≥2时，⇔a≥-9．
又a2=a1+3＞a1．
综上，所求的a的取值范围是[-9，+∞）．（12分）