Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（Ⅰ）证明：当b=2时，{a_n-n•2^n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2n．由此可知an+1-（n+1）•2n=2an+2n-（n+1）•2n=2（an-n•2n-1），所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2n-1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{an}的通项公式．
【解析】
由题意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Snban+1-2n+1=（b-1）Sn+1
两式相减得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1
即an+1=ban+2n①
（Ⅰ）当b=2时，由①知an+1=2an+2n
于是an+1-（n+1）•2n=2an+2n-（n+1）•2n=2（an-n•2n-1）
又a1-1•2=1≠0，所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an-n•2n-1=2n-1，即an=（n+1）2n-1
当b≠2时，由①得==
因此=
即
所以