Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n＞0，（n∈N*），且{b_n}是以q为公比的等比数列．
（I）证明：a_n+2=a_nq²；
（II）若c_n=a_2n-1+2a_2n，证明数列{c_n}是等比数列；
（III）求和：．

Answer

（I）由，代入得，从而得到结论；
（II ）根据an的递推关系求出a2n-1与a2n，然后代入cn=a2n-1+2a2n可得cn=5q2n-2，从而{cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．、；
（III）讨论q是否为1，然后利用等比数列求和公式进行求解即可，最后利用分段形式表示即可．
【解析】
（I）证：由，有，∴an+2=anq2（n∈N*）．
（ II）证：∵an=qn-2q2，∴a2n-1=a2n-3q2=…=a1q2n-2，a2n=a2n-2q2=…=a2qn-2，
∴cn=a2n-1+2a2n=a1q2n-2+2a2q2n-2=（a1+2a2）q2n-2=5q2n-2．
∴{cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．
（ III）由（ II）得，，于是==．
当q=1时，=．
当q≠1时，==．
故