Question

已知函数f（x）=x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b为实常数．
（Ⅰ）求函数f（x）为奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），代入函数解析式，得到恒成立的方程，整理对应相等，即可求得常数a的值；（Ⅱ）函数f（x）在R上是增函数转化为f'（x）≥0恒成立，∴△≤0解得a，b的一个关系式，根据a∈[0，4]，b∈[0，3]，画出图象，即可求得函数f（x）在R上是增函数的概率．
【解析】
（Ⅰ）若f（x）任意x∈R，
有f（x）+f（-x）=0
即
∴2（a-1）x2=0∴a=1
当a=1 时，
，所以f（x）为奇函数．
故f（x）为奇函数的充要条件是a=1．

（Ⅱ）因为f'（x）=x2-2（a-1）x+b2．
若f（x）在R上是增函数，则对任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以△=4（a-1）2-4b2≤0，即|a-1|＜|b|．
设“f（x）在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为{（a，b）||a-1|＜|b|}．
又全部试验结果Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如图．
所以=．
故函数f（x）在R上是增函数的概率为．