Question

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=，BD=，求直线BM与平面PAC所成的角．

Answer

（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDM中三条已知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面BDM中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求直线BM与平面PAC所成的角，我们要先根据线面夹角的定义，找出直线BM在平面PAC上的射影，然后解三角形即可求解．
【解析】
（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连接OM．
因为ABCD是菱形，则O为AC中点．
又M为PA的中点，所以OM∥PC．
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．

（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因为PA=AC=，则PC=2．
又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO=PC=1．
又BO=BD=，在Rt△BOM中，
tan∠BMO==，所以∠BMO=60°．
故直线BM与平面PAC所成的角是60°．