Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=，记b_n=a_2n（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令c_n=，证明：c_n≤（n∈N*）．

Answer

本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答时：
（Ⅰ）首先由bn=a2n可推得：从而获得数列{bn}是首项和公比都为的等比数列，进而用等比数列的通项公式即可获得问题的解答；
（Ⅱ）利用第一问的结论再结合等比数列的前n项和公式可得：（n≥2）．又因为：对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+Sn-1恒成立，
则λ大于等于1+Sn-1的最大值，故λ的取值范围是即可解答；
（Ⅲ）首先利用第一问的结论对Cn进行化简，然后利用作差法即可获得数列在不同范围上的单调性，进而求得数列{cn}的最大值．
【解析】
（Ⅰ）因为bn=a2n，由已知可得，

=．
又a1=1，则．
所以数列bn是首项和公比都为的等比数列，
故．
∴数列{bn}为等比数列，并求其通项公式为：．
（Ⅱ）因为=（n≥2）．
若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+Sn-1恒成立，
则λ≥2，故λ的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）因为，则
=．
当n＜9时，cn+1-cn＞0，即cn＜cn+1；
当n=9时，cn+1-cn=0，即cn=cn+1；
当n＞9时，cn+1-cn＜0，即cn＞cn+1．
所以数列cn的最大项是c9或c10，
且，故．