Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比数列，数列{b_n}满足b₁=-9，，（n∈N⁺）其中k为大于0的常数．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记数列a_n+b_n的前n项和为T_n，若当且仅当n=3时，T_n取得最小值，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据所给的等差数列的三项之间的关系，求出数列的首项和公差的关系，求出首项和公差，写出数列的通项，根据所给的数列的递推式，代入前面求出的数列的通项，整理仿写一个通项，连续两项做差，再利用累加得到要求的数列的通项．
（2）根据所求的两个数列的通项．构造新数列，连续两项做差，得到数列是一个递增数列，当n=3时，取得最小值，根据条件做出k的取值范围．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d
∵S5=3a5-2=3（a1+4d）-2=3a1+12d-2
∴5a1+10d=3a1+12d-2
∴a1=d-1
∵a1，a2，a5依次成等比数列
∴a22=a1a5即（a1+d）2=a1（a1+4d）
化简得：d=2a1
∴a1=1，d=2
∴an=a1+（n-1）d=2n-1
∴
∴
当n≥2时，

∴
∴
当n=1时，b1=9满足上式
∴
（2）∵an=2n-1，
∴
∴数列an+bn是递增数列
∵当n=3时，Tn取得最小值
∴
解得．