Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求ϕ和ω的值．

Answer

由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点对称可得函数关系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
【解析】
由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cos∅=0．
依题设0＜∅＜π，所以解得∅=，
由f（x）的图象关于点M对称，
得，
取x=0，得f（）=sin（）=cos，
∴f（）=sin（）=cos，
∴cos=0，又w＞0，
得=+kπ，k=1，2，3，
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得ω=或2．