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对于函数f(x)=lg|x-2|+1,有下三个命题: ①f(x+2)是偶函数; ...

对于函数f(x)=lg|x-2|+1,有下三个命题:
①f(x+2)是偶函数;
②f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;
③f(x+2)-f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.
其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
由f(x)=lg|x-2|+1,知f(x+2)=lg|x|+1是偶函数;由f(x)=lg|x-2|+1=,知f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;f(x)=lg|x-2|+1,知f(x+2)-f(x)=lg|1+|在区间(2,+∞)上是减函数. 【解析】 ∵f(x)=lg|x-2|+1, ∴f(x+2)=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1是偶函数, 故①正确; ∵f(x)=lg|x-2|+1=, ∴f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数, 故②正确; ∵f(x)=lg|x-2|+1, f(x+2)=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1, ∴f(x+2)-f(x)=lg|x|-lg|x-2|=lg||=lg|1+|在区间(2,+∞)上是减函数, 故③不正确. 故选A.
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