Question

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a，k的值
（2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y=g（x）的图象，写出y=g（x）的解析式
（3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer

（1）由函数f（x）=ax+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），f（-1）=a-1+k=1，解得k=1．函数f（x）=ax+k反函数f-1（x）的图象过点（8，2），知a2+k=8，解得a=2．
（2）由（1）得f（x）=2x+1，所以f-1（x）=log2x-1．由此解得g（x）=log2（x+2）．（x＞-2）
（3）由f（x）=g（x2）-f-1（x），知f（x）=，由此能求出当且仅当时取
．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），
∴f（-1）=a-1+k=1，
解得k=1．
∵函数f（x）=ax+k反函数f-1（x）的图象过点（8，2），
∴函数f（x）=ax+k的图象过点（2，8），
∴a2+k=8，即a3=8，
∴a=2．
（2）由（1）得f（x）=2x+1，
∴f-1（x）=log2x-1．
将y=f-1（x）的图象向左移2，向上移1得f-1（x+2）-1=log2（x+2），
∴g（x）=log2（x+2）．（x＞-2）
（3）f（x）=g（x2）-f-1（x）
=log2（x2+2）-log2x+1（x＞0）
=，
∴x＞0，
∴，
当且仅当时取
∴．