Question

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中nÎN^*．
（1）设函数y=f（x）图象的顶点的坐标为（a_n，f（a_n）），求证数列{a_n}是等差数列；
（2）设函数y=f（x）图象的顶点到y轴的距离构成数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和；
（3）在（1）的条件下，若数列{c_n}满足（nÎN^*），求数列{c_n}中值最大的项和值最小的项．

Answer

（1）先把二次函数配方，顶点的横坐标就为所求数列{an}的通项，再按定义证明{an}是等差数列即可；
（2）数列{bn}的通项即为数列{an}的通项的绝对值．再分情况求出数列{bn}的前n项和；
（3）先利用（1）中求到的数列{an}的通项求出数列{cn}的通项公式，再利用数列{cn}的通项公式对应的函数的单调性来求数列{cn}中值最大的项和值最小的项即可．
（1）证明：由f（x）=x2-2（10-3n）x+9n2-61n+100变形可得f（x）=[x-（10-3n）]2-n．
∴顶点坐标为（10-3n，-n），依题意有an=10-3n，（nÎN*）
∴an+1-an=[10-3（n+1）]-（10-3n）=-3，∴数列{an}是以首项为7，公差为-3的等差数列．（4分）
（2）函数f（x）图象的顶点到y轴的距离构成数列{bn}，
∴bn=|an|=|10-3n|=
由于数列{an}是一个等差数列，
当n≤3时，bn=10-3n，∴
当n≥4时，bn=3n-10，b4=2，d=3，
那么=
所求数列的前n项和（8分）
（3）由（1）知，an=10-3n，∴==
∴函数在区间及上分别为减函数，
∴1＞c1＞c2；c3＞c4＞c5＞×××＞1
∴数列{cn}中，值最大的项是c3=3，值最小的项是c2=-1．（13分）