Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且只有两个不动点0，2，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足，求数列通项a_n；
（3）如果数列{a_n}满足a_n=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

Answer

（1）如果设，整理得：（1-b）x2+cx+a=0，由根与系数的关系得：，解得，代入f（x），并由f（-2）＜，得c＜3，且c，b∈N，f（x）=x有且只有两个不动点，得c、b的值，从而得f（x）解析式．
（2）由题意，知，所以，2Sn=an-an2 ①；又an≠1，把n-1代替n得：2Sn-1=an-1-an-12，②；
①-②得：an，an-1的关系，从而得数列{an}是等差数列，通项公式为an=-n；
（3）证法（一）：可用反证法，即假设an＞3（n≥2），由（1）知，
作商比较，知＜1，∴数列{an}是递减数列，且最大项a2=，这与假设矛盾，从而证得结论成立．
证法（二）：由，解得an+1＜0或an+1≥2，当an+1＜0，结论成立；当an+1≥2时，因n≥2，数列{an}单调递减，且，知an＜3成立．
【解析】
（1）设得：（1-b）x2+cx+a=0，由根与系数的关系，得：，
解得，代入解析式，由，
得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴．
（2）由题设，知，所以，2Sn=an-an2 ①；
且an≠1，以n-1代n得：2Sn-1=an-1-an-12，②；
由①-②得：2an=（an-an-1）-（an2-an-12），即（an+an-1）（an-an-1+1）=0，
∴an=-an-1或an-an-1=-1，以n=1代入①得：2a1=a1-a12，
解得a1=0（舍去）或a1=-1；由a1=-1，若an=-an-1得a2=1，这与an≠1矛盾，
∴an-an-1=-1，即{an}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴an=-n；
（3）证法（一）：运用反证法，假设an＞3（n≥2），则由（1）知，
∴
∴an＜an-1＜…＜a2，而当
这与假设矛盾，故假设不成立，∴an＜3．
证法（二）：由
得an+1＜0或an+1≥2，若an+1＜0，则an+1＜0＜3，结论成立；
若an+1≥2，此时n≥2，从而，
即数列{an}在n≥2时单调递减，由，可知上成立．