Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）整理an+1=an+6an-1得an+1-3an=-2（an-3an-1），an+1+2an=3（an+2an-1），进而判断出当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）利用（1）中求得的an+2an-1和an+1-3an，两式相减求得an，进而求得当k为奇数时，=原式得证．
（3）利用（2）中的结论，进而可知当n为偶数时，求得，n为奇数时，，综合原式可证．
【解析】
（1）由an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）得：
an+1+2an=3（an+2an-1），an+1-3an=-2（an-3an-1）
且a2+2a1=15，a2-3a1=-10．
∴当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得an+1+2an=15×3n-1，an+1-3an=-10×（-2）n-1
以上两式相减得an=3n-（-2）n．
当k为奇数时，
=，
∴．
（3）由（2）知，当k为奇数时，；
∴当n为偶数时，
当n为奇数时，