(1)当a=2时,f(x)=2x+-3lnx,求导得f'(x)=2--=,因为定义域为开区间,求得极值即为最值.
(2)先求f'(x)=,再由“f(x)在[1,e]上为单调函数”转化为“f'(x)≥0或f'(x)≤0在[1,e]上恒成立”,最后转化为最值法求解.
【解析】
(1)当a=2时,f(x)=2x+-3lnx
f'(x)=2--=
令f'(x)=0得x=2或-(∵x>0,舍去负值)
∴当a=2时,函数f(x)的最小值为5-3ln2.(6分)
(2)∵f'(x)=,
令h(x)=ax2-3x-a=a(x-)2-,
要使f(x)在[1,e]上为单调函数,
只需f'(x)在(1,e)内满足:f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立,且等号只在孤立点取得.
∵h(1)=-3<0
∴h(e)=ae2-3e-a≤0
∴a≤
①当0≤a≤时,f'(x)≤0恒成立
②当a<0时,x=∉[1,e],
∴h(x)<0(x∈[1,e])
∴f'(x)<0,符合题意.
综上可知,当a≤时,f(x)在[1,e]上为单调函数.(14分)