Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围．
（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由．

Answer

（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；
（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．
【解析】
（1）依题意，有，

即
由a3=12，得a1=12-2d③，
将③式分别代①、②式，得
∴＜d＜-3．

（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，
则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
，
∴a6＞0，a7＜0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．