Question

数列a_n中，a₁=2，a_n+1=a_n+cⁿ（c＞0，c≠1，n∈N*，），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求a_n的通项公式．
（3）求数列na_n的前n项和S_n．

Answer

（1）根据题设递推式，分别求得a1，a2，a3，根据等比中项的性质可知a22=a1a3，求得q．
（2）利用题设中的递推式，采用叠加法求得数列的通项公式．
（3）由于数列{nan}由等比和等差数列构成，进而采用错位相减法求得数列的前n项的和．
【解析】
（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+c+c2
∵a22=a1a3
∴（2+c）2=2（2+c+c2）
解得c=0（舍去）或c=2
∴c=2

（2）由（1）知an+1-an=2n
∴当n≥2时
an=（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2++21+2
=
当n=1时，也符合，所以an=2n．

（3）nan=n•2n
∴Sn=1•21+2•22++（n-1）•2n-1+n•2n（1）
2Sn=1•22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1（2）
（1）-（2）：
-Sn=2+22++2n-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）2n+1