Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n=2a_n-1+1（n≥2），则a₅为（ ）
A．7
B．15
C．30
D．31

Answer

（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得an+1=2（an-1+1），从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求
【解析】
（法一）∵an=2an-1+1，a1=1
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
a4=2a3+1=15
a5=2a4+1=31
（法二）∵an=2an-1+1
∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31
（法三）∴an+1=2（an-1+1）
∵a1+1=2
∴{an+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1
∴a5=25-1=31
故选：D