Question

（1）求证：若x＞0，则ln（1+x）＞；
（2）若a，b＞0求证：lna-lnb≥1-．

Answer

（1）欲证ln（1+x）＞，设f（x）=ln（1+x）-利用导数证明出当x＞0时f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函数．结合f（x）＞f（0）=0即得；
（2）欲证lna-lnb≥1-，令f（x）=ln（1+x）-，由（1），f（x）在x=0处取得最小值．即ln（1+x）-≥0从而证得lna-lnb≥1-．
（1）f（x）=ln（1+x）-，∴f′（x）=
x＞0时f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函数．
∴x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴ln（1+x）＞
（2）令f（x）=ln（1+x）-，
由（1），f（x）在x=0处取得最小值．
即ln（1+x）-≥0
∴而lna-lnb-1+=ln+-1=f（
∴lna-lnb-1+≥0
即lna-lnb≥1-．