Question

给出四个命题：
（1）函数在闭区间[a，b]上的极大值一定比极小值大
（2）函数在闭区间[a，b]上的最大值一定是极大值
（3）对于f（x）=x³+px²+2x+1，若，则f（x）无极值
（4）函数f（x）在区间（a，b）上一定不存在最值
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

应用极值与最值的概念逐一判断即可，函数的极大值指的是比它附近其他点的函数值都大的函数值，极小值指的是比它附近其他点的函数值都小的函数值，但是极大值不一定比极小值大，可判断（1）的对错，函数在闭区间上的最值在端点或极值处取得，可判断（2），（4）的对错，利用导数的取值范围可判断函数的极值存在情况，可判断（3）的对错．
【解析】
（1）函数在闭区间[a，b]上的极大值指的是比它附近其他点的函数值都大的函数值，
极小值指的是比它附近其他点的函数值都小的函数值，但极大值不一定大于极小值，∴（1）错误．
（2）函数在闭区间[a，b]上的最大值可能是极大值，也可能是端点函数值，∴（2）错误．
（3）对函数f（x）=x3+px2+2x+1求导，得，f′（x）=3x2+2px+2，
当时，△=4p2-24＜0，函数f（x）=x3+px2+2x+1在R上为减函数，无极值，∴（3）正确．
（4）若函数f（x）在区间（a，b）上先增后减，则函数f（x）在区间（a，b）上有最大值，
若函数f（x）在区间（a，b）上先减后增，则函数f（x）在区间（a，b）上有最小值，∴（4）错误
故选B