Question

已知：数列{a_n}前n项和为S_n，a_n+S_n=n，数列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）分别令n=1，2，3，4，即可求得数列{an}的前四项；
（2）猜想：，再用数学归纳法证明，当n=k+1时，利用，即可证得；
（3）利用（2）的结论，结合bn+1=an+1-an，可求数列{bn}的通项公式．
【解析】
（1）∵an+Sn=n，∴n=1时，
n=2时，a2+S2=2，∴
n=3时，a3+S3=3，∴
n=4时，a4+S4=4，∴；…（2分）
（2）猜想：，下面用数学归纳法证明：…（3分）
①当n=1时，，猜想成立；
②假设当n=k时猜想成立，即，
则当n=k+1时，，
即，∴，即当n=k+1时猜想也成立，
∴由①②知：n∈N*时都成立．…（8分）
（3）∵bn+1=an+1-an，∴（n≥2），
∵，∴（n∈N*）．…（10分）