如图①，正三角形ABC边长2，CD为AB边上的高，E、F分别为AC、BC中点，现...

如图①，正三角形ABC边长2，CD为AB边上的高，E、F分别为AC、BC中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图②
（1）判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系，并说明理由
（2）求二面角B-AC-D的余弦值
（3）求点C到面DEF的距离
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（1）由已知中E、F分别为AC、BC中点，由三角形中位线定理可得EF∥AB，由线面平行的判定定理可得AB∥平面DEF （2）过D作DH垂直AC于H，连接HB，根据二面角的平面角可得∠BDH是B-AC-D的二面角的平面角，解三角形BDH，即可得到二面角B-AC-D的余弦值（3）过点E作FK垂直CD于K，可证得FK是三棱锥C-DEF的高，由此我们计算出三棱锥C-DEF的体积，和S△DEF利用等体积法，即可得到点C到面DEF的距离．【解析】（1）在三角形ABC中，EF是中位线，所以EF∥AB EF属于平面DEF里，且直线AB不属于平面DEF， ∴AB∥平面DEF （2）过D作DH垂直AC于H，连接HB BD垂直于AD，BD垂直于CD，又因为AD和CD相交于点D， ∴所以BD垂直于平面ACD AC属于平面ACD，所以BD垂直于AC 又因为DH垂直于AC 所以∠BDH是B-AC-D的二面角在三角形BDH里，∠BDH是直角（因为BD垂直于平面ACD，所以BD垂直于DH） BD=1 DH=AD•sin60°= tan∠BHD== cos∠BHD= （3）求三棱锥C-DEF的体积过点E作FK垂直CD于K，在三角形BCD中，FK是中位线，FK∥BD，且FK=BD= 又BD垂直于平面ACD，可知FK垂直于平面ACD 即FK垂直于平面ECD 所以FK是三棱锥C-DEF的高 S△CED= VC-DEF= 又∵S△DEF= ∴点C到面DEF的距离为

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等