Question

已知：f（x）=x²-x+m（m∈R）且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，a≠1
（1）求：f（log₂x）的最小值及对应的x值；（2）求：不等式f（log₂x）＞f（1）的解．

Answer

（1）由已知中f（x）=x2-x+m（m∈R）且f（log2a）=m，log2f（a）=2，a≠1，我们易求出满足条件的a，m值，进而得到f（log2x）解析式，结合复合函数、指数函数、二次函数的性质，即可求出f（log2x）的最小值及对应的x值；
（2）由（1）的中f（log2x）解析式，我们易将f（log2x）＞f（1）化为：log22x-log2x+2＞2，解对数不等式，即可得到答案．
【解析】
（1）∵f（log2a）=m，
∴f（log2a）=log22a-log2a+m=m
∴log2a=1或log2a=0，即a=2或a=1（舍）
∵a=2，∴f（a）=f（2）=2+m
∴log2f（a）=log2（2+m）=2，
∴m=2
∴f（x）=x2-x+2
∴f（log2x）=log22x-log2x+2
∴当log2x=，即x=时，f（log2x）取最小值
（2）由（1）知：f（log2x）＞f（1）即为：log22x-log2x+2＞2
则有log2x＞1或log2x＜0，
∴x＞2或0＜x＜1