Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长AA₁=2，
（1）E为棱CC₁的中点，求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
（3）求：点D₁到平面EAB的距离．

Answer

（1）连接A1C1，根据正方体的结构特征得到A1C1是AE在平面A1C1上的射影，进而根据三垂线定理得到B1D1⊥AE．
（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF，可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，根据相似三角形性质求出OF后，解三角形BOF即可，得到二面角B-AE-C的平面角
（3）过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，可证得D1C1∥平面ABE，即D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离，即C1G长，根据相似三角形的性质，可求出点D1到平面EAB的距离
【解析】
（1）证明：连接A1C1，
∵AA1⊥平面A1C1，
∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影，
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AE
（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=AC=
在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，
∴
∴OF==
在Rt△BOF中，tan∠BFO==3
（3）过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，∵AB⊥平面BC1，G1G⊂平面BC1，
∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE，
∵D1C1∥AB，D1C1⊄平面ABE，
∴D1C1∥平面ABE，
∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离
∵△C1GE∽△BCE，
∴C1G：C1E=BC：BE，
∴C1G==
∴D1到面ABE的距离等于