Question

在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，E、F分别在边BC、CD上，且四边形PECF为矩形，用向量方法证明：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．

Answer

（1）以B为原点、BC为x轴建立如图直角坐标系，设正方形的边长为1，且BE=x，可得A、B、E、F、P各点的坐标，从而得到的坐标，得到且，因此得到PA=EF；
（2）根据（1）中的数据，算出的数量积为0，从而得到，即AP⊥EF．
【解析】
以B为原点、BC为x轴，建立直角坐标系，如图所示
设正方形的边长为1，且BE=x，可得B（0，0），E（x，0），F（1，x），
P（x，x），A（0，1）…2′
可得
（1）根据向量模的公式，得，
∴，即AP=EF…6′
（2）∵
∴
可得，即AP⊥EF…10′