Question

在等差数列{a_n}中，3a₈=5a₁₃，且a₁＞0，S_n为其前n项和，问S_n取最大值时，n的值是多少？

Answer

设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式化简已知的等式，用d表示出a1，由a1大于0，得到d小于0，然后再利用等差数列的前n项和公式表示出此等差数列的前n项和Sn，整理后得到Sn为关于n的二次函数，根据二次项系数d小于0，得到此函数图象为开口向下的抛物线，即函数有最大值，进而利用二次函数取最值的方法即可求出Sn取最大值时n的值．
【解析】
由题意3a8=5a13，
化简得：3（a1+7d）=5（a1+12d），又a1＞0，
∴，
∴d＜0，
∴，
∵Sn为关于n的二次函数，且d＜0，
∴此函数函数图象为开口向下的抛物线，即二次函数有最大值，
∴n=20时，Sn有最大值．