Question

已知二次函数f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n}，求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到y轴的距离构成数列{d_n}，求数列{d_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）因为二次函数表达式为f（x）=x2+2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈N*．可求顶点横坐标，也就得到
数列{an}的通项公式．再利用等差数列的定义证明．
（Ⅱ）因为二次函数表达式为f（x）=x2+2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈N*．可求顶点纵坐标，也就得到
数列{dn}的通项公式，再用等差数列前n项和公式，分组求和即可．
【解析】
（Ⅰ）由二次函数y=f（x）的对称轴为x=3n-10得an=3n-10
∵对n∈N且n≥2，有an-an-1=3
∴{an}为等差数列．
（Ⅱ）由题意，dn=|an|，即 
∴当1≤n≤3时，
当n≥4时，Sn=7+4+1-（-2-5+…+10-3n）=
∴