Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，可得 f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．利用增函数的定义可证
f（x）是增函数．
（2）要使，令t=sinθ+cosθ，由，
可得 在t∈[1，]上恒成立，故m应大于或等于t+的最大值，利用单调性求得
t+的最大值．
【解析】
（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，由题意知f（x1-x2）＜0，则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是增函数．
（2）要使，
只须 ．        
又由f（x）为单调增函数有 ．
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵，∴．
原命题等价于  恒成立，
∴，
令上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．