Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意，把点M（1，2）代入抛物线的方程，求得抛物线的方程和焦点坐标，再把点M（1，2），代入椭圆和双曲线的标准方程，即可求得结果；
（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H，根据垂径定理即可得到方程=（a-2）x1-a2+3a，探讨该式何时是定值．
【解析】
（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2，
∴抛物线方程为：y2=4x；由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）1，F2（1，0），∴c=1；
对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|=；∴a=1+
∴
∴b2=a2-c2=2+2
∴椭圆方程为：=1
对于双曲线，2a'=||MF1|-|MF2||=2-2
∴a'=-1
∴a'2=3-2
∴b'2=c'2-a'2=2-2
∴双曲线方程为：=1

（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H．
令
∴|DC|=
|
∴|DH|2=|DC|2-|CH|2=
=（a-2）x1-a2+3a
当a=2时，|DH|2=-4+6=2为定值；
∴|DE|=2|DH|=2为定值
此时l'的方程为：x=2