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高中数学试题
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设a∈R,函数f(x)= (Ⅰ)当a=2时,试确定函数f(x)的单调区间; (Ⅱ...
设a∈R,函数f(x)=
(Ⅰ)当a=2时,试确定函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任何x∈R,且x≠0,都有f(x)>x-1,求a的取值范围.
(1)a=2时,当x<0时,,当x>0时,,可用导数判单调性; (2)当x<0时,f(x)>x-1⇔⇔,转化为求的最大值问题 当x>0时,f(x)>x-1⇔,即,转化为求的最小值,可用导数求解. 【解析】 (Ⅰ)当x<0时,, 因为,所以f(x)在(-∞,0)上为增函数; 当x>0时,,,由f′(x)>0,解得,由f′(x)<0,解得, 所以f(x)在上为增函数,在上为减函数. 综上,f(x)增区间为(-∞,0)和,减区间为. (Ⅱ)当x<0时,由f(x)>x-1,得,即, 设, 所以(当且仅当x=-1时取等号), 所以当x=-1时,g(x)有最大值-3, 因为对任何x<0,不等式恒成立,所以a>-3; 当x>0时,由f(x)>x-1,得,即, 设,则, 所以当,即时,h(x)有最小值, 因为对任何x>0,不等式恒成立,所以. 综上,实数a的取值范围为.
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考点分析:
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2
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2
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.
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1
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2
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,
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.
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