Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列是公差为d的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式（用n，d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求证：c的最大值为．

Answer

（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a1、d的方程，求出a1，进而推出sn，再利用an与sn的关系求出an．
（2）利用（1）的结论，对Sm+Sn＞cSk进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值．
【解析】
（1）由题意知：d＞0，=+（n-1）d=+（n-1）d，
∵2a2=a1+a3，
∴3a2=S3，即3（S2-S1）=S3，
∴，
化简，得：，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-（n-1）2d2=（2n-1）d2，适合n=1情形．
故所求an=（2n-1）d2
（2）（方法一）Sm+Sn＞cSk⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞c•k2，恒成立．
又m+n=3k且m≠n，，
故，即c的最大值为．
（方法二）由及，得d＞0，Sn=n2d2．
于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有．
所以c的最大值．
另一方面，任取实数．设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，且．
于是，只要9k2+4＜2ak2，即当时，．
所以满足条件的，从而．
因此c的最大值为．