Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，满足S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）的猜想．

Answer

（1）由题设条件，分别令n=2和n=3，4，能够得到a2，a3，a4的值
（2）由前几项猜想猜想（n∈N*）；
（3）先证n=1时，命题成立；再利用假设及递推关系证明n=k+1时，命题成立．
【解析】
（1）因为a1=3，且Sn=6-2an+1（n∈N*），所以S1=6-2a2=a1=3
解得，…（理（2分），文3分）
又，
解得…（理（3分），文6分）
，
所以有…（理（5分），文9分）
（2）由（1）知a1=3=，，，
猜想（n∈N*）…（理（9分），文14分）
（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；…（理10分）
②假设n=k时，命题成立，即 ak=，…（理11分）
当n=k+1时，Sk=6-2ak+1（k∈N*）a1+a2+…+ak=6-2ak+1
即3+++…+=6-2ak+1
ak+1=，
即当n=k+1时，命题成立．…（理13分）
根据①②得n∈N+，an=都成立…（理14分）