Question

已知，f（x）=ax-lnx，，a∈R．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性、极值；
（2）当a=-1时，求证：成立；
（3）是否存在实数a，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）把a=1代入原函数，求出其导函数，即可求f（x）的单调性、极值；
（2）设，要使当a=-1时成立；
即要求g（x）在（0，+∞）的最大值小于h（x）的最小值，由（1）知h（x）的最小值为，再根据g（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）单调递减，知所以g（x）最大值为，根据，即可求解
（3）先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论
【解析】
（1）a=1时，，x＞1时，f'（x）＞0，x＜0时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，f（x）有极小值f（1）=1
（2）a=-1时，，设，
则，由（1）知h（x）的最小值为．
又因为g（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）单调递减，
所以g（x）最大值为，
所以g（x2）＜h（x1）（x1，x2∈（0，+∞）
从而：成立
（3）
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
②当a＞0时，f′（x）=0的根为
当 时，，解得a=e2
③当 时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
综上所述a=e2时，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3