Question

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=255，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件，并说明理由．

Answer

（1）依题意可分别求得a1和a3，进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P3的坐标．
（2）根据原点O到二次曲线C：（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．根据a1=a2，判断d＜0，进而根据an≥b2，求得≤d，进而判断Sn在[，0）上递增，进而求得Sn的最小值．
（3）点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP1|=a2推断点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2符合．
【解析】
（1）a1=|OP1|2=100，由S3=（a1+a3）=255，得a3=|OP3|3=70．
由，得，
∴点P3的坐标可以为（2，）．

（2）原点O到二次曲线C：（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a1=|OP1|2=a2，
∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n-1）d≥b2，
∴≤d＜0．∵n≥3，＞0
∴Sn=na2+d在[，0）上递增，
故Sn的最小值为na2+•=．

（3）若双曲线C：-=1，点P1（a，0），
则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．
∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[|a|，+∞），且|OP1|=a2，
∴点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2，即d＞0．