Question

已知圆C：x²+（y-2）²=5，直线l：mx-y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer

（1）利用直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），而定点（0，1）在圆的内部，从而证明结论成立．
（2）设中点M的坐标为（x，y），由AB⊥OM  可得 m=，直角三角形DCM 中，利用勾股定理求得点M的轨迹方程．
【解析】
（1）证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），
点D到圆心（0，2）的距离等于1 小于圆的半径，
故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）设中点M的坐标为（x，y），则由直线和圆相交的性质可得AB⊥CM，
∴kCM=-=，=，∴m=．
由于定点D（0，1）、圆心C、点M 构成直角三角形，由勾股定理得
CM2+DM2=CD2，∴x2+（y-2）2+x2+（y-1）2=（2-1）2，
2x2+2y2-6y+4=0，即   x2+=．此圆在圆C：x2+（y-2）2=5 的内部，
故点M的轨迹方程为   x2+=．