Question

设定义域在[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量，若x=λx₁+（1-λ）x₂，记向量，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准K下线性近似”是指恒成立，其中K是一个正数．
（1）证明：0≤λ≤1（2）；
（3）请你给出一个标准K的范围，使得[0，1]上的函数y=x²（4）与y=x³（5）中有且只有一个可在标准K下线性近似．

Answer

（1）据区间的左端点小于等于右端点，列出x1≤x≤x2，将x的值代入解不等式．
（2）对于y=x2与y=x3分别求出M，N两点的距离的最大值，利用题目中的定义求出K的范围．
【解析】
（1）由题意，x1≤x≤x2，即x1≤λx1+（1-λ）x2≤x2，∴x1-x2≤λ（x1-x2）≤0．
∵x1-x2＜0，∴0≤λ≤1．
（2）由
所以B、N、A三点在一条直线上．
又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．
对于[0，1]上的函数y=x2，A（0，0），B（1，1），
则有||=x-x2=，故．
对于[0，1]上的函数y=x3，则有=x-x3=g（x）．
在（0，1）上，g′（x）=1-3 x2，
可知在（0，1）上y=g（x）只有一个极大值点x=，
所以函数y=g（x）在（0，）上是增函数；在（，1）上是减函数．
又g（）=，故[0，]．
经过比较，＜，所以取k[，），则有函数y=x2在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x3在[0，1]上不可在标准k下线性近似．