Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC₁和B₁C₁的中点．
（1）求异面直线A₁D与AB所成角的余弦值；
（2）求点C到平面A₁BD的距离；
（3）在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A₁BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，进而利用向量的有关运算求出空间向量的夹角，再转化为两条异面直线的夹角．
（2）求出平面的法向量以及平面的一条斜线所在的向量，再求出斜线所在的向量在法向量上射影，进而得到答案．
（3）设F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量 ，则 为平面A1BD的一个法向量，由此构造方程，求出x值，即可得到F点的位置．
【解析】
（1）如图建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，1），A1（0，2，2），A（0，2，0），
所以，，
所以cos＜A1D，AB＞=||=．

所以异面直线A1D与AB所成角的余弦值为．
（2）由（1）可得：，
设平面A1DB的法向量为，
则
所以可得：，
又因为，
所以cos＜n1，＞==，
所以d=．
所以点C到平面A1BD的距离．
（3）存在F为AC的中点，使EF⊥平面A1BD
设F（0，y，0），由E（1，0，2）得
若EF⊥平面A1BD，则由得y=1，
∴F为AC的中点
∴存在F为AC的中点，使EF⊥平面A1BD