Question

已知：函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数．
（1）求实数m的取值的集合A；
（2）当m取集合A中的最小值时，定义数列{a_n}：满足a₁=3，且a_n＞0，，求数列{a_n}的通项公式
（3）若b_n=na_n数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（1）由函数f（x）是增函数，利用导数得m≥3x2对任意x∈（0，1）恒成立，从而求出m的范围，即求出集合A；
（2）由（1）中的m的最小值为3，得到f′（x），从而将变形得到数列{an-1}是首项为2，公比为3的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；
（3）由（2）可求bn=nan=2n•3n-1+nSn=2（1•3+2•31+3•32+…+n•3n-1）+（1+2+3+…+n），再利用错位相减法化简得到Sn=，显然．
【解析】
（1）f′（x）=-3x2+m≥0对任意x∈（0，1）恒成立，
所以：m≥3x2对任意x∈（0，1）恒成立，得m≥3即A=[3，+∞）
（2）由m=3得：f（x）=-x3+3x⇒f′（x）=-3x2+3
所以：
得：an+1-1=3（an-1）所以数列{an-1}是首项为2，公比为3的等比数列
所以：an-1=2•3n-1⇒an=2•3n-1+1
（3）bn=nan=2n•3n-1+nSn=2（1•3+2•31+3•32+…+n•3n-1）+（1+2+3+…+n）
令：Tn=1•3+2•31+3•32+…+n•3n-1
3 Tn=1•31+2•32+…+（n-1）•3n-1+n•3n
-2 Tn=3+31+32+…+3n-1-n•3n=-n•3n=
所以Tn=Sn=