Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=椭圆F以A、B为焦点，且经过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；
（Ⅱ）是否存在直线与椭圆F交于M，N两点，且线段MN的中点为点C，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（-1，0）B（1，0）D（-1，），设椭圆F的方程为得，由此能求出椭圆F方程．
（Ⅱ）若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴，设l方程，代入代入，得，设M（x1，y1）、N（x2，y2），借助韦达定理能够导出直线l方程．
【解析】
（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1，0）B（1，0）D（-1，）
设椭圆F的方程为
得
得
所求椭圆F方程
（Ⅱ）【解析】
若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴
设l方程
代入，得
设M（x1，y1）、N（x2，y2）有
得
又∵内部
故所求直线l方程