Question

如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围．

Answer

（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，根据|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2判断出曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则首先可知a，根据|AB|=4求得c，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据题意可知=λ，根据韦达定理求得x1+x2和x1+x2的表达式，将x1=λx2代入两式相除，根据k的范围求得λ的范围，进而根据M在D、N中间，判断出λ＜1，综合可得答案．
【解析】
（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2，
∴a=，c=2，b=1．
∴曲线C的方程为+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，
代入+y2=1，得（1+5k2）x2+20kx+15=0．
△=（20k）2-4×15（1+5k2）＞0，得k2＞．
由图可知=λ
由韦达定理得，将x1=λx2代入得
两式相除得
∵，∴，∴
∴，∵，∴①
∵，M在D、N中间，
∴λ＜1②
又∵当k不存在时，显然λ=（此时直线l与y轴重合）
综合得：≤λ＜1．