Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，1），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于不同的两点A、B，且．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设，由条件知a=1且b=c，又有a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的离心率和标准方程．
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由，由根的判别式和韦达定理知，由此能求出m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，
可设，
由条件知a=1且b=c，又有a2=b2+c2，
解得
故椭圆C的离心率为，
其标准方程为：
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0（*），

∵
∴-x1=3x2，
∴
由此，得3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴
整理得4k2m2+2m2+k2-2=0，
，上式不成立；
，
因k≠0
∴，
∴
容易验证k2＞2m2-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）