Question

已知函数．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为，求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于2的正整数n，S_m＜T_n恒成立，试求m的最大值

Answer

（Ⅰ）由函数表达式证明，只需要把函数表达式代入然后化解即可．
（Ⅱ）由1中证明的结果代入通项公式推得，然后根据前n项和与通项的关系求得数列{an}的前m项和Sm．
（Ⅲ）由数列bn满足的条件求得再用（Ⅱ）中的Sm满足Sm＜Tn恒成立，直接代入求解．
（Ⅰ）证明：∵，
∴，
∴．
故答案为．．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知，
∴，
即．
∴，
，
又Sm=a1+a2++am-1+am①Sm=am-1+am-2++a1+am②
①+②得，
∴答案为；
（Ⅲ）【解析】
∵③
∴对任意n∈N*，bn＞0④
，
∴，
∴
∵bn+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn．
∴数列{bn}是单调递增数列．∴Tn关于n递增，
∴当n≥2，且n∈N*时，Tn≥T2．
∵，
∴．（14分）
由题意，即，
∴∴m的最大值为6．
故答案为6．