Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）证明：AB₁⊥BC₁；
（2）求点B到平面AB₁C₁的距离；
（3）求二面角C₁-AB₁-A₁的大小．

Answer

（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；
（2）求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式，即可求出
点B到平面AB1C1的距离；
（3）结合（2）的结合，再求出平面AB1A1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1-AB1-A1的大小．
证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，
题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．
∵，∴∴AB1⊥BC1
【解析】
（2）设的一个法向量，
由得
令
∵，∴点B到平面AB1C1的距离．
（3）解设是平面A1AB1的一个法向量
由
∴令
∵，
∴二面角C1-AB-A1的大小为60°．