Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，动点M在棱A₁B₁上．
（1）求证：DM⊥AD₁；
（2）当M为A₁B₁的中点时，求CM与平面DC₁所成角的正弦值；
（3）当A₁M=A₁B₁时，求点C到平面D₁DM的距离．

Answer

（1）连A1D、B1C，由正方体性质，AD1⊥A1D，A1B1⊥AD1证出AD1⊥平面A1DCB1，即可证出AD1⊥DM．
（2）在平面A1C1内过点M作MN∥B1C1，交D1C1于N，则∠MCN为CM与平面DC1所成角．在三角形MNC中求出．
（3）由于CC1∥平面D1DMC，将点C到平面D1DM的距离．转化成C1到平面D1DM的距离，作C1H⊥D1M于点H，证出C1H⊥平面D1DM，则C1H为所求距离．
【解析】
（1）证明：连A1D、B1C，由正方体性质，AD1⊥A1D，A1B1⊥AD1
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM⊂平面A1DCB1，∴AD1⊥DM
（2）在平面A1C1内过点M作MN∥B1C1，交D1C1于N，
则MN⊥平面DC1，连NC．
则∠MCN为CM与平面DC1所成角 …（6分）
∵MN=B1C1=6，MC==9
∴sin∠MCN==，即所求正弦值为．…（8分）
（3）连C1M，作C1H⊥D1M于点H，∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∵CC1∥D1D
D1D⊂平面D1DM
CC1⊄平面D1DM
∴CC1∥平面D1DM
连C1M，作C1H⊥D1M于点H，∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∴C1H⊥平面D1DM，C1H为C1到平面D1DM的距离即 C到平面D1DM的距离为C1H…（10分）
∵C1H•D1M=S△D1C1M=18，而D1M== 
∴C1H=
∴C到平面D1DM的距离为…（12分）