Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l₁的斜率k的取值范围．

Answer

（1）由于直线l：x=-2交x轴于点A，所以A（-2，0），由于P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；
（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，-1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；
（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．
【解析】
（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y） ①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4  （x≥-1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x＜-1）综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4  （x≥-1）或y=0（x＜-1）
（2）由题意画出图形如下：
∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．
是以（-1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，
由H引直线HB垂直准线x=-2与B点，则
利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，
由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故|HO|+|HT|的最小值时的H．
 （3）如图，设抛物线顶点A（-1，0），则直线AT的斜率∵点T（1，-1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点 ②当时，直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点 ③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点 ④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是
（-]∪（0，+∞）